Matemáticas en la naturaleza II – Y, sin embargo, el universo también es euclidiano

En el anterior artículo vimos cómo el mundo que nos rodea está lleno de fractales. Sin embargo, la geometría fractal no es el único patrón matemático que sigue la naturaleza para crear sus formas. En ocasiones, la geometría clásica como la euclidiana sí puede explicar las estructuras de algunos objetos naturales.

A principios del siglo XIII, el italiano Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci, descubrió la serie numérica que lleva su nombre, la sucesión de Fibonacci. Esta serie es una secuencia infinita de números naturales en la que, comenzando en el número cero, cada elemento que la forma es la suma de los dos anteriores. Cada uno de los números que forman parte de esta serie se denominan números Fibonacci:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 … ∞

Pues bien, esta sencilla sucesión numérica está ampliamente desarrollada en la naturaleza. Los números de Fibonacci se encuentran por ejemplo en la distribución de las hojas o las ramas en las plantas (Fig. 1), en el número de pétalos de la gran mayoría de las flores (Fig. 2), en la longitud relativa de las falanges de una mano (Fig. 3) o incluso en el crecimiento reproductivo de algunos animales (curiosamente éste fue el hecho que llevó a Leonardo de Pisa al descubrimiento de su sucesión. Imagino que en siglo XIII la cría de conejos debía de ser algo bastante cotidiano, incluso entre los matemáticos).

Fig. 1: Sucesión de Fibonacci en la distribución de las hojas y ramas en las plantas

Fig. 2: Los pétalos de la gran mayoría de flores coinciden con los números de Fibonacci según la Ley Ludwig, aunque hay algunas, como la Amapola, que no siguen este patrón

Fig. 3: La longitud relativa de los huesos de los dedos de una mano tiene una proporción que sigue la sucesión de Fibonacci.

 

Pero ojo, que esto solo acaba de comenzar. Si se colocan los números de esta secuencia en una gráfica se obtiene la curva exponencial que se ve en la figura 4. Y si, además, se construye una sucesión de cuadrados cuyos lados correspondan con la suma de los lados de los dos cuadrados adyacentes, o dicho de otra forma, que la medida de sus lados correspondan a los números de la sucesión de Fibonacci, se obtiene un rectángulo que tiene la propiedad de generar una espiral exponencial si se coloca la curva de la serie de Fibonacci que vimos antes en cada uno de los cuadrados que lo componen (Fig. 5). Y siguiendo con la serie de acontecimientos, resulta que ese rectángulo no es un rectángulo cualquiera, sino que es un rectángulo áureo… Sí! nos acabamos de encontrar con el archiconocido número áureo, también llamado proporción áurea, la que ya dominaban los antiguos griegos, la que se ha usado durante siglos en el arte, la música y la arquitectura, y la que desde siempre se ha sabido que se encuentra en la naturaleza. Y fue precisamente Euclides, el padre de la geometría clásica, quién describió matemáticamente el rectángulo áureo ya en el siglo III a.c.

Fig. 4: Representación de la secuencia de Fibonacci en una gráfica

Fig. 5: Espiral exponencial creada a partir de la secuencia de Fibonacci en un rectángulo áureo

 

En matemáticas, el número áureo se denomina fi (Φ=1,61803…) y es primo-hermano del número pi (π=3,14159…) y del número e (e=2,7182…), los otros dos número irracionales más famosos. Este número es la relación de proporción entre segmentos que cumplen la siguiente condición: la proporción entre los segmento a+b y a es igual que la proporción entre los segmentos a y b (Fig. 6), siento ésta es la llamada proporción áurea. De este modo, el número fi se obtiene resolviendo de la ecuación de proporcionalidad entre estos segmentos como se ve en la figura 7.

Fig. 6: Segmentos proporcionales según el número fi

Fig. 7: Ecuación de proporcionalidad aurea entre segmentos de la figura 6 y cálculo de fi

 

¿Y por qué está relacionado el número áureo y la proporción áurea con la sucesión de Fibonacci? Pues porque la proporción entre dos números consecutivos de esta serie es siempre un poquito mayor o un poquito menor que el número fi, y cuanto mayor son esos números, más se acerca su proporción a la cifra exacta de fi, hasta que ésta es por fin alcanzada en el infinito:

5/3 = 1,666

8/5 = 1,600

13/8 = 1,625

….

377/233 = 1,618025…

610/377 = 1,618037…

….

∞ = 1,618033…= Φ

(En el infinito de esta serie de consigue una proporción exacta de fi, que a su vez tienen infinitos decimales)

 

Pero resulta que esta relación con el número áureo no solo se da en la sucesión de Fibonacci, sino que cualquier sucesión matemática con las mismas características (que cada elemento sea la suma de los dos anteriores, o, en términos matemáticos, que sea una sucesión aditiva recurrente de orden 2) también se relaciona con fi del mismo modo.

Y ahora bien, ¿cómo afecta todo esto a las formas de la naturaleza? Como se vio al principio de este capítulo existen patrones naturales que siguen de algún modo la serie de Fibonacci, pero, además, existen otros muchos patrones naturales que están relacionados con el número fi, como espirales áureas, triángulos áureos, pentágonos regulares, ángulos áureos  o proporciones áureas entre los elementos que constituyen cada objeto.

La espiral áurea creada a partir de series numéricas iguales o similares a la de Fibonacci es quizá una de las formas más espectaculares que se pueden observar en la naturaleza, y puede ser encontrada tanto en seres vivos, como plantas, animales o bacterias, como en diferentes fenómenos físicos. Varios ejemplos de esto pueden ser las conchas de muchos moluscos cefalópodos y gasterópodos (Fig. 8), plantas como el aloe vera (Fig. 9), la distribución del movimiento del aire en un frente borrascoso (Fig. 10), o la forma de algunas galaxias como la Vía Láctea.

Fig. 8: Concha de un nautilo

Fig. 9: Planta de aloe vera

Fig. 10: Movimiento del aire en la atmósfera

 

Además, la manera más eficiente de rellenar un espacio circular con objetos más pequeños es mediante espirales áureas, tal como muestra el patrón de la figura 11. Por ello, no es de extrañar que muchísimas plantas usen ese mismo patrón para optimizar el espacio en su crecimiento o en la creación de semillas, como es el caso de los girasoles (Fig. 12), las margaritas o el brócoli romanesco. Y más curioso aún es el hecho de que el número de espirales que rellenan esos círculos siempre coinciden con números de Fibonacci (Fig. 13)

Fig. 11: Forma más eficaz de rellenar un espacio circular

Fig. 12: Espirales áureas en girasoles y margaritas

Fig. 13: El número de espirales que rellenan estos círculos siempre es un número de la serie de Fibonacci, en estos ejemplos son 21 y 8.

 

En la naturaleza también se pueden encontrar formas obtenidas mediante subproductos del número fi. Por ejemplo, si se toma una circunferencia y se divide sus 360 grados entre fi más uno (360/[Φ+1]) se obtienen un ángulo de 137,5º, el denominado ángulo áureo. Pues bien, en muchas plantas el ángulo entre nuevos brotes del tronco es precisamente unos 137,5º. De este modo los vegetales consiguen optimizar el espacio en planta ocupado por cada rama para que reciban la mayor cantidad de luz. Otro ejemplo de este tipo se ve en el crecimiento de muchas plantas, donde la proporción entre la longitud de las sucesivas ramificaciones es exactamente el inverso de fi (1/ Φ). De esta forma la planta es capaz de crecer ocupando el mayor volumen sin que sus ramificaciones se estorben unas a las otras (Fig. 14). Esta proporción también se ve en la longitud de las diferentes partes que componen los cuerpos de los animales.

Fig. 14: Patrones de crecimiento en plantas. A la izquierda, crecimiento de ramas con una proporción mayor que 1/ Φ, las ramas de superponen. A la derecha, crecimiento de ramas con una proporción igual a 1/ Φ, las ramas no se estorban pero ocupan el máximo espacio.

 

Supongo que los que hayáis leído el capítulo anterior os habréis dado cuenta de algo bastante significativo: muchos de los ejemplos que se han usado en este capítulo ya habían sido usados como ejemplos de geometría fractal en el capítulo anterior, donde se dijo que la geometría fractal es la mejor manera de representar matemáticamente muchas de las formas de la naturaleza en comparación a la geometría clásica. Y, sin embargo, en este capítulo se ha visto que la geometría clásica, como la euclidiana, también es una herramienta que nos permite entender estas formas naturales. Entonces, ¿quién tiene razón, Mandelbrot o Euclides? La respuesta es que ambas geometrías son válidas para entender cómo se comporta el mundo natural, ya que ambas están íntimamente relacionadas. Basta con mirar un fractal generado por ordenador para comprobar que las espirales áureas se repiten en él una y otra vez, o para ver que las infinitas repeticiones de sus partes se hacen cada vez más pequeñas según la proporción áurea (Fig. 15).

FIg.15: Ejemplo claro de conexión entre geometría clásica euclidiana, geometría fractal teórica y geometría fractal natural: Haciendo una secuencia del desarrollo geométrico del teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo, se obtiene un fractal conocido como árbol pitagórico en el que se ven espirales áureas (arriba izquierda). La parte exterior de este fractal coincide con la curva de Lévy C (arriba derecha), la cual describe perfectamente la forma de la coliflor al desarrollarla mediante un ordenador (abajo).

 

El número fi es el denominador común de ambas geometrías, de lo grande y lo pequeño, de lo vivo y lo inerte, de lo terrestre y lo extraterrestre, y ha sido esta omnipresencia lo que lo convirtió desde la antigüedad en el número de oro, el número divino donde muchos han querido ver la mano de un dios creador. Sin embargo, la única razón por la que estos patrones se repiten a todas las escalas a lo largo y ancho del universo es que toda la materia del cosmos se mueve al unísono, al ritmo universal que le marca las leyes de la física.

Si por algo se caracterizan las fuerzas del universo es por no tolerar el trabajo innecesario. La química y la física describen procesos que, ante todo, son eficaces. Y esa eficacia es válida tanto para el movimiento de las estrellas alrededor de un agujero negro como para el movimiento del aire alrededor del ojo de un huracán. Y es igualmente válida para los organismos vivos de la naturaleza. Si para un árbol la manera más eficaz de intercambiar gases es aumentando la superficie total de todas sus hojas, y si la manera más eficaz de aumentar esa superficie, de acuerdo con las leyes del universo, es mediante un crecimiento matemático fractal proporcional al número fi, entonces, la evolución, hará la suficiente presión para que con el paso de las generaciones se alcance ese patrón. La vida en nuestro planeta ha tenido tiempo de sobra no solo de crear máquinas, sino de hacerlas con la máxima eficiencia que las propias leyes de la física le han permitido, y estas leyes han sido, son y serán siempre las mismas; únicas e iguales para todo lo que compone el universo que nos rodea.

Aquí termino este pequeño viaje entre números, geometrías y naturaleza. Para acabar de la mejor manera posible os recomiendo echar un ojo a los siguientes vídeos, donde se explica de manera gráfica todo lo que he comentado en este capítulo, y más. Ya os adelanto que el último vídeo es espectacular.

 

– Vídeo 1: Introducción del programa Redes dedicado al número áureo (Programa completo aquí)

– Vídeo 2: Algo pasa con Phi – Los fractales y la proporción áurea (Capítulo 9) (Esta miniserie casera sobre el número fi es muy recomendable.)

– Vídeo 3: Parte del programa Redes dedicado al número áureo

– Vídeo 4: Nature by numbers

 

Capítulo anterior: Matemáticas en la naturaleza I – El universo es fractal

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