Matemáticas en la naturaleza I – El universo es fractal

Es evidente que a mi amigo Matías le gustan los fractales. Solo hay que leer su estupendo artículo “La historia del universo en una sola imagen” o echar un ojo a la foto de portada de la página de Facebook de su blog [Delightful Obervaciones] para ver que realmente le apasionan, y esa pasión, al final, nos contagia a los que le seguimos. Es probable que una de las cosas que más le guste a Matías de los fractales sea la increíble belleza gráfica que puede llegar a surgir de una expresión matemática (…o no). La figura 1 podría ser un buen ejemplo de ello.

Y no cabe duda de que el simple hecho de poder “construir” arte a partir de funciones matemáticas es algo extraordinario. Sin embargo, lo que a mí más me fascina de los fractales es su vínculo con el mundo real, donde los números y la física se ocultan detrás de las expresiones y formas del mundo natural.

Fig. 1: “Fractal artístico” obtenido de la función Z = Exp(Z3) + C
 

Pero antes de nada, ¿Qué es un fractal? De forma sencilla se puede definir como un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. Esto quiere decir que cuando se observa un objeto fractal, independientemente de la escala a la que sea observado, siempre se verá el mismo patrón geométrico, que es, a su vez, el patrón geométrico que forma la figura completa de dicho objeto. O más sencillo aún, véase la siguiente imagen aclaratoria (Fig, 2). En ella se ve el llamado Triángulo de Sierpinski, que no es más que un triángulo equilátero formado por tres triángulos equiláteros que, a su vez, están formado por tres triángulos equiláteros, que, a su vez, están formados por tres triángulos equiláteros, que, a su vez, están formados…..y así podríamos seguir hasta el infinito o más allá. No importa cuánto zoom se haga en la figura, siempre veremos el mismo triángulo equilátero formado por tres triángulos equiláteros. Y lo mejor es que este fractal se puede reproducir con cualquier tipo de triángulo, no solo equiláteros. Y la cosa alcanza un grado altamente superior si le damos volumen y lo hacemos con tetraedros regulares (Fig. 3), ahora que el 3D está tan de moda. Y para que os quede todavía más claro ¿recordáis cuando usabáis una rama diminuta para representar un árbol en el belén navideño de vuesta casa? A que daba bien el pego eh! Pues eso es un fractal de libro.

Fig. 2: Triángulo de Sierpinski, una figura fractal clásica desarrollado por el polaco Wacław Sierpiński en 1919

Fig. 3: Pirámide de Sierpinski en 3D
 

Pues bien, las matemáticas fractales comenzaron a desarrollarse gracias al trabajo del francés Gastón Maurice Julia en la segunda década del siglo XX, pero no fue hasta los años 70 cuando apareció la geometría fractal, creada por el polaco Benoît Mandelbrot y ayudado por la aparición de las computadoras modernas. Este matemático se interesó por cuestiones que nunca antes habían preocupado a los científicos, como los patrones por los que se rigen la rugosidad o las grietas y fracturas en la naturaleza. En 1982 publicó su libro “Fractal Geometry of Nature”, donde explicaba el impacto de esta disciplina en la concepción e interpretación de los objetos que se encuentran en el mundo natural. El profesor Mandelbrot sostenía que los fractales, en muchos aspectos, son más naturales y, por tanto, mejor comprendidos intuitivamente por el hombre que los objetos basados en la geometría euclidiana, que han sido suavizados artificialmente.

A estas alturas ya se va viendo la conexión entre la naturaleza y los fractales, y es que la geometría fractal supuso el vínculo entre las matemáticas y las formas del medio natural, que si bien eran más que conocidas desde hacía siglos, no podían ser copiadas o entendidas por medio de la geometría clásica o euclidiana. La geometría fractal, en cambio, provee una descripción y una forma de modelo matemático para las complicadas formas de la naturaleza como montañas, franjas costeras, sistemas hidrográficos, nubes, hojas, árboles, vegetales o copos de nieve.

A partir de aquí ya podemos empezar a comparar. Yo creo que se puede comenzar con la imagen más famosa del Conjunto de Mandelbrot, un conjunto fractal en el que se repite una y otra vez una curiosa figura en forma de escarabajo. Echándole imaginación yo diría que tiene forma de escarabajo estercolero con las alas medio abiertas (Fig. 4).

Fig. 4: Comparación entre el escarabajo de Mandelbrot y una especie de Escarabajo estercolero (Digitonthophagus gazella). Hay que remarcar que la comparación de esta figura con un escarabajo real es meramente figurativa.
 

Si bien el parecido entre esta figura del conjunto de Mandelbrot y un coleóptero es pura casualidad, nos sirve como punto de inicio para este paseo visual en el que vamos a repasar algunas similitudes entre imágenes fractales creadas a partir de funciones matemáticas y formas fractales reales de la naturaleza. (Mi amigo Matías nos proponía escuchar la Sonata Nº 1 para cello de J. S. Bach mientras observábamos el Universo condensado en un fractal. Personalmente esa pieza me encanta. Sin embargo, para este otro viaje yo propongo algo diferente, un estilo que me recuerda más al espíritu de la propia naturaleza, aunque sin dejar nunca las cuerdas y el arco.)

Fractal natural a la izquierda, fractal generado por ordenador a la derecha. Pincha en cada foto y usa las flechas del teclado para compararla con su pareja.

Todas las especies de Brocoli, y en especial el Romanesco
Brocoli Romanesco
Hojas de los helechos
Copos de nieve
Brotes nuevos de helechos
Equinodermos como los erizos y las estrellas de mar
Límites de un embalse
Plantas como el Aloe Vera
Movimiento del aire en la atmósfera
Forma de las nubes
Rayos
Conchas de moluscos marinos y terrestres
Líneas costeras
Plantas como la Cicuta
Nervios de las hojas

Sistemas pulmonar, cardiovascular y nervioso en los animales
Humo
Distribución de las hojas en las plantas
Forma de las galaxias
Distribución de colonias de bacterias y hongos
Distribución microscópica del interio de las ramas de árboles

Otros fractales naturales:


Precipitación de pirolusita; Grietas en sedimentos desecados; Suturas de las conchas

Sistemas fluviales; Sistemas montañosos; Crecimiento de árboles y plantas

 

Aun pudiendo simular las formas de la naturaleza de forma muy precisa mediante la geometría fractal, existe una importante diferencia entre los fractales naturales y los fractales matemáticos. Los objetos reales de la naturaleza no pueden tener la infinita cantidad de detalles y repeticiones que los fractales teóricos nos ofrecen en la pantalla de un ordenador. El tronco de un árbol siempre de divide en sus sucesivas ramas hasta llegar de forma finita a los nervios de sus hojas. De hecho, puede haber muchísimas divisiones, pero nunca serán infinitas. Y esto es así porque las leyes físicas que gobiernan el universo marcan los límites a las matemáticas teóricas. El sistema vascular de una planta se puede dividir multitud de veces en venas menores, pero llegará un momento en el que serán tan pequeñas que las moléculas de agua ya no podrán fluir a través de ellas, ya que las leyes de la física de fluidos así lo estipulan. Llegado ese punto, a la planta ya no le vale de nada tener capilares tan diminutos que sean inservibles, por lo que dejará de dividirse y el fractal ya no será infinito.

No hay que olvidar en ningún momento que la naturaleza, al igual que todo lo que vemos y nos rodea, es la representación física de las fuerzas invisibles que dirigen el universo desde el inicio del tiempo. Nosotros hemos inventado unas herramientas virtuales, llamadas Matemáticas, Física o Química, que nos permiten entender esas “fuerzas” e incluso copiarlas. La geometría fractal es tan solo la herramienta que hemos desarrollado para, entre otras cosas, poder entender algunas de las formas geométricas que existen en la naturaleza.

Lo que quiero decir con todo esto es que en realidad no deberíamos de sorprendernos de que una parte de las matemáticas sea capaz de representar la naturaleza al detalle, o que en ella se den patrones matemáticos perfectos, porque, de hecho, esas matemáticas son tan solo el intermediario que nos deja ver esas fuerzas o leyes que han estado siempre ahí, modelándolo todo.

 

Aquí concluye este primer capítulo sobre las matemáticas en la naturaleza. Si os han interesado los fractales, en internet hay multitud de información sobre ellos. Os dejo algunos enlaces:

– Fractales en Wikipedia.
– Excelente post sobre fractales en el blog Animal de Ruta.
– Más comparaciones entre fractales naturales y fractales generados por ordenador, aquí y aquí.
– Fractales y Naturaleza en Pijamasurf.
– Vídeo con espectaculares “zooms” en fractales generados por ordenador.

 

Y por último, qué mejor que el mismísimo Mandelbrot para repasar la historia de la geometría fractal y sus implicaciones en la naturaleza en este fabuloso documental:

 

 

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  1. […] Los fractales no sólo aparecen en los dibujos. La naturaleza está llena de fractales. […]

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